Lambda Calculus

Lambda Calculus

最近比赛经常遇到 lambda 出的题，于是记录一下 lambda 学习记录。

Lambda abstraction

定义函数的意思

1
2
(λ <variable>.<expr>)
λx.x中λ为固定标记，标示着这是一个函数(function)，紧随其后的x为这个函数的形式参数(formal parameters)，.之后的x为这个函数的函数体。

currying

lambda 一般有一个形参，如果要支持多个形参就要对表达式变形

1
λxy.x*x + y*y

可以将其改写为等价的如下函数:

1
λx.(λy.x*x + y*y)

α-conversion

换名规则？参数名换了不影响函数功能。

1
λx.xy

λx.xy需要引入变量绑定(variable binding)的规则。其中x被称为绑定变量(binding variable)，而y则称为自由变量(free variable)。形式参数x的值将替换到在xy中的x上，而y的值却依λx.xy被调用时的上下文而定，这样的函数和其关联自由变量的引用作用域被称为闭包(closure)。

对λx.xy绑定变量x进行改名后可得到一个新的函数:

1
λz.zy

Beta Reduction

1
(lambda x . x + 1)3

将 3 代入，替换成 3 + 1

例2

1
lambda y . (lambda x . x + y)) q

替换结果是

1
lambda x. x+q

Church Boolean

1
2
3
4
5
lambda p q: p q p => AND
lambda p q: p p q => OR
lambda p a b: p b a => NOT
lambda p q: p => TRUE
lambda p q: q => FALSE

Church Numberals

XCTF lambda

XCTF Final 第一次遇到 lambda 题目，当时不会做。这道题目实现了 lambda 模拟器，实现了 Church Boolean 运算。

提取原始表达式，并根据 Church Boolean 的规则简单化简，得到表达式如下

1
2
['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', ['call', ['call', 'AND', 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['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', 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['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'TRUE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]], ['call', ['call', 'XOR', ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]]], 'FALSE']]

对这些表达式进行反 currying 操作

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(AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND (AND 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['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', 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['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)) (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE))

分离出最内层的表达式

1
(AND TRUE (XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE))

其中 ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]的 137 在初始化时被替换成 flag 的 bit 位

根据验证规则，整个表达式要为 True, 则 ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] 应该为 FALSE, 即 137 的值应该为 1 （参考 Church Boolean 的 False）

提取所有 XOR 表达式

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(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] TRUE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '1', ['lambda', '0', ['symbol', '137']]] FALSE)
(XOR ['lambda', '0', ['lambda', '1', ['symbol', '137']]] FALSE)

==原始表达式提取 ida 脚本==

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def getFuncName(func, args = list()):
    if func[0] == "lambda":
        args.append(func[1])
        return getFuncName(func[2], args)

    if func[0] == "call" and len(args) == 2:
        if func == ['call', ['call', ['symbol', args[0]], ['symbol', args[1]]], ['symbol', args[0]]]:
            return "AND"
        if func == ['call', ['call', ['symbol', args[0]], ['symbol', args[0]]], ['symbol', args[1]]]:
            return "OR"

        if func == ['call', ['call', 'OR', ['call', ['call', 'AND', ['symbol', args[0]]], ['call', 'NOT', ['symbol', args[1]]]]], ['call', ['call', 'AND', ['call', 'NOT', ['symbol', args[0]]]], ['symbol', args[1]]]]:
            return "XOR"
        
        if func == ['call', ['call', 'OR', ['call', ['call', 'AND', ['symbol', args[1]]], ['call', 'NOT', ['symbol', args[0]]]]], ['call', ['call', 'AND', ['call', 'NOT', ['symbol', args[1]]]], ['symbol', args[0]]]]:
            return "XOR"

    if func[0] == "call" and len(args) == 3:
        if func == ['call', ['call', ['symbol', args[0]], ['symbol', args[2]]], ['symbol', args[1]]]:
            return "NOT"

    if func[0] == "symbol" and len(args) == 2:
        if func == ['symbol', args[0]]:
            return "TRUE"
        elif func == ['symbol', args[1]]:
            return "FALSE"
    return None
    
def isNativeLambda(l):
    keywords = ["TRUE", "FALSE", "AND", "OR", "NOT"]
    for kk in keywords:
        if kk in str(l):
            return False
    return True


def dump(entry, env = set()):
    ExprType = idc.get_qword(entry)
    if ExprType == 2: # call
        func = dump(idc.get_qword(entry + 8), env)
        
        func_name = getFuncName(func, [])
        if func_name is not None:
            func = func_name 
        
        arg  = dump(idc.get_qword(entry + 16), env)
        arg_name = getFuncName(arg, [])
        if arg_name is not None:
            arg = arg_name

        return ["call", func, arg]


    if ExprType == 0: # symbol
        sym = str(idc.get_qword(entry + 8))
        env.add(sym)
        return  ["symbol", sym]

    if ExprType == 1: # lambda
        body = dump(idc.get_qword(entry + 16), env)
        sym = str(idc.get_qword(entry + 8))
        if sym in env:
            env.remove(sym)
            
        return ["lambda", sym, body]
    raise

调用 exprs = dump(0x12F450) 得到表达式数组。

==表达式化简脚本==

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XOR_EXPR = []
def simplify(lam):
    if lam[0] == 'call':
        if type(lam[1]) == list:
            func = simplify(lam[1])
            expr =  "(" + func + " " + simplify(lam[2]) + ")"
            if func.startswith("XOR"):
                XOR_EXPR.append(expr)
            return expr
        elif lam[1] in ["AND", "OR", "XOR", "NOT"]:
            expr = lam[1] + " "+ simplify(lam[2])
            return expr
    else:
        return str(lam)

==solve 脚本==

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def solve():
    dd = ''
    flag = ''
    i = 0
    for expr in XOR_EXPR:
        a = expr[17]
        b = expr[33]
        if "FALSE" in expr:
            flag += a
        else:
            flag += b
        i += 1
        if i % 8 == 0:
            flag = flag[::-1]
            print(flag)
            dd += chr(int(flag, 2))
            flag = ''
            i = 0
    print(dd) # XCTF{14mBdA_C4LcU1u5_1MpL33mEn7_XOOOO0oO0Oo000R}

参考资料

http://goodmath.blogspot.com/2006/05/my-favorite-calculus-lambda-part-1.html
http://goodmath.blogspot.com/2006/06/lamda-calculus-index.html
https://github.com/Mem2019/MyCTFChallenges/tree/master/XCTF2020/lambda
http://www.cs.columbia.edu/~sedwards/classes/2012/w4115-fall/lambda.pdf

CTF math
Reverse math

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